(옵션 변동성 1) 인트로 - 시리즈 개요
옵션 변동성 시리즈 인트로. 내재 변동성과 국소 변동성의 개념, 차익거래 조건, Dupire 공식, SVI·SSVI, Andreasen & Huge interpolation 까지 다루는 시리즈 개요.
이 글은 금융수학 시리즈의 글입니다.
시리즈에서 다룰 것
이 서브섹션에서는 옵션 변동성에 관한 얘기를 해보려고 합니다. Equity 관점 위주에서 내재 변동성 곡면 생성 방법과 국소 변동성 도출 방법에 대해 다룹니다.
먼저 첫 번째 글에서는 내재 변동성 (Implied Volatility, IV) 와 국소 변동성 (Local Volatility, LV) 의 개념, 학문적 히스토리, 좋은 내재 변동성을 뽑는 일이 왜 어려운지, 어디에 쓰이는지 등 역사적 배경과 학습 목표를 다룰 예정입니다. 앞으로 종종 IV, LV 로 축약해서 부르기도 하겠습니다.
IV 와 LV 두 경우 모두에서 가장 중요한 점을 하나만 꼽으라면 차익거래 조건 (arbitrage-free condition) 일 것 같습니다. 마켓메이킹을 하는 입장이라면 당연히 내가 피팅한 곡면이 다른 거래 상대방에게 차익거래 기회를 제공해서는 안 되겠지요. 두 번째로는, 모델에 따라 implied volatility 를 이용해 local volatility 를 계산하는 경우가 있습니다. 이때는 아주 강한 형태의 arbitrage-free 조건이 요구되기도 합니다. 그래서 만약 추정한 변동성 곡면이 arbitrage-free 하지 않다면 그 다음 단계인 구조화 상품 평가 로 넘어가지도 못하게 됩니다.
이러한 차익거래 조건이 왜 LV 를 만드는 제약이 되는지는 Dupire 공식1 을 보면 아주 직관적으로 이해됩니다. Dupire 공식은 막상 사용해 보면 원래의 내재 변동성으로 잘 원복되지 않습니다. 이런 이유로 최근 경향상 실무에서 직접 사용하는 경우는 드뭅니다. 그럼에도 불구하고 formula 자체에서 오는 직관을 맛보는 것만으로도 큰 이득이 있습니다. 그래서 본격적인 논의에 들어가기 전에 옵션 차익거래 조건식을 짚어 보고, 가볍게 Dupire 공식을 훑고 넘어가도록 하겠습니다.
앞 문단에서 짚었듯, 내재 변동성 곡면을 만들 때 중요한 것은 옵션 차익거래가 없도록 마켓에 피팅 하는 것입니다. 그런데 옵션 가격 위에서 조건을 두면 수학적으로 다루기가 쉽지 않습니다. 우리는 마켓 변동성에 피팅할 함수 하나를 가지고 있고, 이 최적화 문제에 constraint 를 변동성에 대해 아주 비선형적인 Black-Scholes 식으로 표현한다면 이 복잡한 상황을 수학적으로 깔끔하게 풀어 나갈 수 있는 길이 많지 않습니다. 그래서 옵션 차익거래 조건을 변동성에 대한 식 혹은 다른 어떤 적절한 방식으로 다시 써 두어야 합니다.
그다음으로는 SVI 와 SSVI2 를 소개해 드릴 예정입니다. 학술적으로 아주 잘 정립된 방법입니다. 물론 실무에 그대로 적용하기에는 까다로운 부분이 있어, 솔직히 말하면 실무 표준이라고 보기는 어렵습니다. 이 분야를 조금 아시는 분이라면 SVI · SSVI? 하고 뜬금없이 의아해하실 수도 있습니다. 그러나 안심하십시오. 저도 저만의 방식이 있습니다. 나름의 노하우를 풀어볼 생각입니다.
다음으로, 현재 한국 Equity 장외 파생 하우스에서 LV 를 계산할 때 사실상 표준으로 쓰이는 Andreasen & Huge 의 local volatility interpolation3 방법을 다룹니다. 이 방식이 표준이 된 이유는 간단합니다. 여기서 뽑은 LV 로 FDM 이든 Monte-Carlo 든 시뮬레이션을 돌려 옵션 가격을 만들고 다시 변동성을 뽑아 보면, 원래의 변동성으로 되돌아옵니다. 짧게 말해 내재 변동성이 보존 됩니다.
그리고 마지막으로 변동성의 stickyness 에 대해 다루려고 합니다. 변동성이 moneyness 에 찰떡같이 붙어 있는지, 아니면 strike 에 붙어 있는지에 대한 가정을 각각 sticky-to-moneyness, sticky-to-strike 라고 합니다. 제 체감상 시장은 sticky-to-moneyness 입니다. 일단 결론은 그런데요, 그러면 델타가 달라집니다. 물론 다른 그릭들도 달라지고, 여러 가지가 달라집니다. 앞으로 하나하나 차근히 짚어 보도록 하겠습니다.
목차
정리하면 다음과 같습니다.
| 편 | 주제 | 상태 |
|---|---|---|
| 1 | Implied & Local Volatility | 게시 |
| 2 | 옵션의 차익거래 조건 | 작성 중 |
| 3 | Local Volatility: Dupire 공식 | 작성 예정 |
| 4 | 변동성 곡면에서 arbitrage-free의 다른 표현 | 작성 예정 |
| 5 | SVI와 SSVI 개론 | 작성 예정 |
| 6 | SSVI의 변형과 실무적 적용 | 작성 예정 |
| 7 | Local Volatility: Andreasen & Huge interpolation | 작성 예정 |
| 8 | 변동성은 어디에 붙어 있는가 (stickyness) | 작성 예정 |
다음 글에서는 내재 변동성 (IV) 과 국소 변동성 (LV) 의 정의와 학문적 배경, 그리고 좋은 변동성 곡면을 만드는 일이 왜 어려운지를 다룹니다: Implied & Local Volatility
Dupire, B. (1994), Pricing with a Smile, Risk Magazine, Vol. 7, January 1994, pp. 18–20. ↩︎
Gatheral, J. & Jacquier, A. (2014), Arbitrage-free SVI Volatility Surfaces, Quantitative Finance, 14(1), pp. 59–71 (arXiv:1204.0646, 2012). ↩︎
Andreasen, J. & Huge, B. N. (2011), Volatility Interpolation, Risk Magazine, March 2011, pp. 76–79 (SSRN:1694972). ↩︎