(옵션 변동성 3) 옵션의 차익거래 조건
옵션 가격의 두 가지 차익거래 조건 butterfly 와 calendar 의 의미를 살펴봅니다.
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이 글은 금융수학 시리즈의 글입니다.
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이번 글에서는 옵션 가격에 내재된 두 가지 차익거래 조건, butterfly 차익거래와 calendar 차익거래를 살펴보겠습니다. butterfly 차익거래는 같은 만기의 서로 다른 행사가들 사이에서 발생하는 차익거래를, calendar 차익거래는 같은 행사가의 서로 다른 만기들 사이에서 발생하는 차익거래를 가리킵니다. 두 이름 모두 “이런 상황이라면 해당 포트폴리오로 (butterfly or calendar) 차익거래를 일으킬 수 있다” 는 의미에서 붙었다고 생각하시면 됩니다.
본격적인 논의에 앞서 butterfly spread 포지션과 calendar spread 포지션을 먼저 소개하겠습니다.
Butterfly spread
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K1 K2 K3
세 개의 행사가 $K_1 < K_2 < K_3$ 에 대해 다음과 같이 콜 옵션을 묶은 포지션입니다.
| 행사가 | 포지션 | 계약 수 |
|---|---|---|
| $K_1$ | Long call | 1 |
| $K_2$ | Short call | 2 |
| $K_3$ | Long call | 1 |
가운데 행사가의 두 배짜리 매도 포지션이 나비의 몸통, 양옆 행사가의 매수 포지션이 두 날개에 해당한다는 비유에서 이름이 붙었습니다. 솔직히 페이오프 그래프만 놓고 보면 별로 나비같이 생기지는 않았습니다만, 뭐 이런 종류의 설명도 있는 거고, 어쨌든 이 포지션의 이름은 나비입니다.
Calendar spread
같은 행사가 $K$ 에 대해 만기가 다른 두 옵션을 짝지어 만드는 포지션입니다. 가까운 만기 $T_1$ 의 콜을 매도하고 먼 만기 $T_2$ ($T_1 < T_2$) 의 콜을 매수하면 long calendar spread 가 됩니다. 같은 행사가에 대해 다른 만기에 걸치는 포지션을 두고, “만기 스프레드” 같은 단순한 이름보다는 “달력 스프레드” 같은 이름이 더 끌렸나 봅니다. 트레이더들이 달력을 많이 봐서 그랬을까요? 어쨌든 이 포지션의 이름은 calendar spread 입니다.
자 이제 이 두 포지션이 차익거래가 되는 조건을 알아보겠습니다. 각각을 butterfly-arbitrage, calendar-arbitrage condition 이라고 부릅니다.
Butterfly-arbitrage
Definition (butterfly-arbitrage). call 옵션 가격 $C(K)$ 가 행사가 $K$ 에 대해 non-convex 한 구간이 존재한다 (동치로 put 옵션 가격 $P(K)$ 가 non-convex 한 구간이 존재한다).
Call options
자, 그럼 $C(K)$ 가 non-convex 한 구간이 있다고 가정해 봅시다. 논의의 편의를 위해 등간격 $K_1 < K_2 < K_3$ 에서 non-convex 하다고 하겠습니다, i.e.,
\[C(K_1) + C(K_3) < 2 \times C(K_2)\]이 행사가들로 버터 플라이 포지션을 잡아 보겠습니다. 그러면 이 포지션의 초기 구성 비용은:
\[\Pi_0 = C(K_1) - 2 \times C(K_2) + C(K_3)\]만기시점에서 이 포트폴리오는:
\[\Pi_T = (S_T - K_1)^+ - 2(S_T - K_2)^+ + (S_T - K_3)^+\]가 됩니다. 각 항들의 만기 시점 값을 구간별로 정리해 보겠습니다:
| 구간 | $(S_T - K_1)^+$ | $-2(S_T - K_2)^+$ | $(S_T - K_3)^+$ | 합계 $\Pi_T$ |
|---|---|---|---|---|
| $S_T \leq K_1$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $K_1 < S_T \leq K_2$ | $S_T - K_1$ | $0$ | $0$ | $S_T - K_1 \geq 0$ |
| $K_2 < S_T \leq K_3$ | $S_T - K_1$ | $-2(S_T - K_2)$ | $0$ | $K_3 - S_T \geq 0$ |
| $S_T > K_3$ | $S_T - K_1$ | $-2(S_T - K_2)$ | $S_T - K_3$ | $0$ |
으로, 어디서나 $\Pi(S_T) \geq 0$ 입니다. 미래의 어떤 시나리오에서도 손해를 보지 않는 포지션이라는 뜻이지요. 정리하면 포지션을 만드는 순간 돈이 들어오고, 만기에는 어떤 시나리오에서도 손해가 나지 않는다 — 다시 말해 차익거래 포지션이 됩니다.
뒤집어 말하면, 무차익 시장에서는 이런 일이 벌어져서는 안 되므로
\[C(K_1) - 2\, C(K_2) + C(K_3) \geq 0\]이 모든 $K_1 < K_2 < K_3$ 에 대해 성립해야 합니다. 이 부등식이 바로 행사가 방향의 convexity 조건이지요. 행사가 간격을 $h$ 로 두고 $h \to 0$ 의 극한을 취하면
\[\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K) \geq 0\]으로 정리됩니다.
Put options
풋옵션도 마찬가지입니다. 이번에는 $P(K)$ 가 등간격 $K_1 < K_2 < K_3$ 에서 non-convex 하다고 가정해 보겠습니다, i.e.,
\[P(K_1) + P(K_3) < 2 \times P(K_2)\]이 행사가들로 풋옵션 버터플라이 포지션 (long put $K_1$, short put 2개 $K_2$, long put $K_3$) 을 잡으면 초기 구성 비용은:
\[\Pi_0 = P(K_1) - 2 \times P(K_2) + P(K_3)\]으로, 가정에 의해 음수가 됩니다. 즉 포지션을 만드는 순간 돈이 들어오지요. 만기시점에서 이 포트폴리오는:
\[\Pi_T = (K_1 - S_T)^+ - 2(K_2 - S_T)^+ + (K_3 - S_T)^+\]가 됩니다. 각 항들의 만기 시점 값을 구간별로 정리해 보겠습니다:
| 구간 | $(K_1 - S_T)^+$ | $-2(K_2 - S_T)^+$ | $(K_3 - S_T)^+$ | 합계 $\Pi_T$ |
|---|---|---|---|---|
| $S_T \leq K_1$ | $K_1 - S_T$ | $-2(K_2 - S_T)$ | $K_3 - S_T$ | $0$ |
| $K_1 < S_T \leq K_2$ | $0$ | $-2(K_2 - S_T)$ | $K_3 - S_T$ | $S_T - K_1 \geq 0$ |
| $K_2 < S_T \leq K_3$ | $0$ | $0$ | $K_3 - S_T$ | $K_3 - S_T \geq 0$ |
| $S_T > K_3$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
으로, 콜로 짠 butterfly 와 정확히 같은 텐트 모양이 나옵니다. 어디서나 $\Pi(S_T) \geq 0$ 이므로 미래에 손해를 보지 않고, 초기에 돈을 받았으니 차익거래가 됩니다.
같은 논리로 무차익 시장에서는
\[P(K_1) - 2\, P(K_2) + P(K_3) \geq 0, \qquad \frac{\partial^2 P}{\partial K^2}(K) \geq 0\]이 따라옵니다.
Calendar-arbitrage
Definition (calendar-arbitrage). 동일한 행사가 $K$ 에서 가까운 만기 옵션의 가격이 먼 만기 옵션의 가격보다 비싼 자리가 존재한다. 즉 $T_1 < T_2$ 에 대해 $C(K, T_1) > C(K, T_2)$ (동치로 $P(K, T_1) > P(K, T_2)$) 인 자리가 있다.
Call options
자, 그럼 $T_1 < T_2$ 에 대해 $C(K, T_1) > C(K, T_2)$ 라고 가정해 봅시다, i.e.,
\[C(K, T_1) - C(K, T_2) > 0\]이 두 만기로 long calendar spread 포지션 (가까운 만기 매도 + 먼 만기 매수) 을 잡아 보겠습니다. 그러면 이 포지션의 초기 구성 비용은:
\[\Pi_0 = C(K, T_2) - C(K, T_1)\]으로, 가정에 의해 음수가 됩니다. 즉 포지션을 만드는 순간 돈이 들어오지요.
이제 이 포트폴리오를 가까운 만기 $T_1$ 까지 들고 가 봅시다. $T_1$ 시점에서 매도해 둔 가까운 만기 콜은 $(S_{T_1} - K)^+$ 만큼의 손실로 정산되고, 매수해 둔 먼 만기 콜은 아직 만기가 $T_2 - T_1$ 만큼 남은 살아 있는 콜이 됩니다. 이자율과 배당이 0 이라는 가정 아래 European 콜 가격은 항상 내재가치 이상이므로
\[C(S_{T_1}, K, T_2 - T_1) \geq (S_{T_1} - K)^+\]가 성립하고, 따라서 $T_1$ 시점에서 이 포트폴리오의 가치는
\[\Pi_{T_1} = C(S_{T_1}, K, T_2 - T_1) - (S_{T_1} - K)^+ \geq 0\]으로, 어떤 시나리오에서도 손해가 나지 않습니다. 정리하면 포지션을 만드는 순간 돈이 들어오고, $T_1$ 시점에서 어떤 시나리오에서도 손해가 나지 않는다 — 다시 말해 차익거래 포지션이 됩니다.
뒤집어 말하면, 무차익 시장에서는 이런 일이 벌어져서는 안 되므로
\[C(K, T_2) - C(K, T_1) \geq 0\]이 모든 $T_1 < T_2$ 에 대해 성립해야 합니다. 즉 콜 가격은 만기 $T$ 에 대해 비감소 함수여야 한다는 뜻이지요. 만기 간격을 $h$ 로 두고 $h \to 0$ 의 극한을 취하면
\[\frac{\partial C}{\partial T}(K, T) \geq 0\]으로 정리됩니다.
풋옵션도 같은 상황에서 마찬가지로 포트폴리오를 구성할 수 있습니다.
정리
자, 다시 돌아와서 butterfly-arbitrage-free 조건과 calendar-arbitrage-free 조건을 정리해 보겠습니다.
butterfly-arbitrage-free
- call: $K$ 에 대해 non-increasing 하고 convex
- put: $K$ 에 대해 non-decreasing 하고 convex
calendar-arbitrage-free
- call: $T$ 에 대해 non-decreasing
- put: $T$ 에 대해 non-decreasing
이게 정석적인 변동성 곡면 (vol surface) 에서의 무차익 조건입니다. monotonicity 에 관한 설명은 본문에서 일부러 하지 않았는데요, 너무 당연한 가정이기도 하고, 예를 들어 call 이 행사가에 대해 increasing 한 자리에서 차익거래 포지션을 잡는 예시를 만드는 건 너무 쉽기도 하니까요.
목표와 다음 글
이전 글 에서 말씀드렸다시피 저희의 목적은 품질이 좋은 변동성 곡면을 만드는 것입니다. 시장의 노이즈에 강건하면서도 피팅은 또 잘되어야 하고, 그러면서 차익거래 포지션은 일어나서는 안 되겠죠. 저희는 시장의 내재 변동성 ${\sigma_i}_i$ 에 대해 다음을 만족하는 어떤 함수 $\omega^{\phi}(K)$ 를 찾고 있습니다 ($\phi$ 는 함수의 계수). 본 글의 내용을 이어 이 목적을 수학적으로 그냥 적어 버리면 이렇게 됩니다:
\[\begin{aligned} \textbf{Target:} \quad & \min_{\phi} \| \omega^{\phi} - \sigma \| \\ \textbf{Constraint:} \quad & \frac{\partial^2 C}{\partial K^2} \geq 0, \ \frac{\partial^2 P}{\partial K^2} \geq 0, \ \frac{\partial C}{\partial T} \geq 0, \ \frac{\partial P}{\partial T} \geq 0 \\ & \text{for any call and put option on the volatility } \omega^{\phi}. \end{aligned}\]이 최적화 문제는 constraint 가 타겟 함수 (volatility) 의 굉장히 복잡한 non-linear 함수로 이루어져 있어, 다루는 게 쉽지 않습니다. 그래서 일단 저 constraint 를 변동성에 대한 표현으로 바꿀 수 있는지 살펴봐야 하는데요, 이 이야기를 본격적으로 꺼내기에 앞서 다음 글에서는 Dupire 공식을 먼저 다뤄 보겠습니다. Dupire 공식은 implied volatility 에서 local volatility 를 추출해 내는 공식인데, 여기서 자연스럽게 $C_{KK} \geq 0$ 과 $C_T \geq 0$ 조건이 등장합니다. Dupire 논문의 본래 취지는 시장 가격에 모델을 맞춰서 프라이싱을 해 보려는 것이었지만, 그 과정에서 차익거래가 있는 곡면은 자연스럽게 노이즈로 받아들여지게 되지요. 그리고 그게 수식 안에서 어떻게 표현되는지가 꽤 흥미롭다고 생각합니다. 그래서 이 부분을 다음 글에서 먼저 살펴 보고, 그 다음에 차익거래 조건의 수학적 변형에 대해 알아보도록 하겠습니다.