(옵션 변동성 6) 업계 동향과 학술적 배경

이전 글: 변동성 곡면에서 arbitrage-free 의 다른 표현

이 글은 금융수학 시리즈의 글입니다.

TL;DR

변동성 곡면 피팅의 학술적 표준은 Gatheral 의 SVI / SSVI 이고, 실무 표준은 각 하우스의 in-house 모델 또는 Vola Dynamics 입니다. 옛 표준이었던 Orc Wing 은 listed equity 에서는 자리를 내줬지만 crypto 옵션 마켓메이커 사이에서 다시 쓰이고 있습니다. 한국은 채권평가사와 Markit 의 vol 을 재무 마감용으로 받고 일중 평가에는 별도 in-house 모델을 운용하는 dual stack 형태입니다.

들어가며

본격적으로 SVI/SSVI 를 다루기 전에, 변동성 곡면 피팅 분야의 현재 모습을 한번 짚고 가려고 합니다. 학계 표준은 어디까지 와 있고, 실무 표준은 어떤지, 둘 사이의 간극은 어디에 있는지를 정리하고, 마지막에 다음 글들에서 소개할 방법이 어디쯤에 자리하는지 가볍게 언급하면서 마치도록 하겠습니다.

학계 — SVI / SSVI

이 분야에서 학술적으로 가장 잘 정립된 것은 SVI (Stochastic Volatility Inspired) 와 그 표면 버전인 SSVI (Surface SVI) 입니다. SVI 는 원래 1999년 Merrill Lynch 사내 모델이었고, Jim Gatheral 이 2004년 Global Derivatives 컨퍼런스에서 공개한 뒤 그의 2006년 저서 The Volatility Surface¹ 를 통해 대중화되었습니다. 이어 Gatheral 과 Antoine Jacquier 가 발표한 SSVI² 는 닫힌 형태로 calendar arbitrage 와 butterfly arbitrage 를 동시에 막는 충분조건을 증명했다는 점에서 학술적 의미가 큰 논문입니다.

약점

그런데 실무에서는 SVI 도, SSVI 도 표준이 되지 못한 이유가 있습니다. 두 방법 모두 분명한 약점을 가지고 있어서인데요, 가볍게 짚고 가겠습니다.

먼저 SVI 는 vol 곡면 전체가 아니라 각 슬라이스 (한 만기) 를 따로따로 피팅합니다. 슬라이스마다 5개 파라미터를 자유롭게 쓰기 때문에, 한 슬라이스 내부의 피팅 자체는 질이 꽤 좋습니다. 문제는 calendar arbitrage 입니다. 슬라이스가 서로 독립이다 보니 인접 만기 사이에 calendar arb 이 끼어들지 않는다는 보장이 없습니다. 게다가 원 논문에서 제공되는 SVI 의 calendar-arbitrage-free 조건은 4차 방정식의 해 형태로 표현됩니다. constraint 로 쓰기에는 너무 복잡해서, 수치 최적화 단계에서 이 조건을 바로 사용하기는 사실상 어렵습니다.

SSVI 는 SVI 가 가진 이 문제를 다른 방향에서 풉니다. 곡면 전체를 한 번에 피팅하는, 일종의 variable reduction 형태이지요. SVI 가 슬라이스마다 가지고 있던 변수 하나를 ATM total variance 의 함수 $\varphi(\theta)$ 로 대체해, 결과적으로는 함수 하나 + 파라미터 두 개 (어떻게 보면 파라미터 세 개) 로 전체 곡면을 표현합니다. 이 방식의 획기적인 점은 그렇게 줄인 자유도 위에서 calendar 와 butterfly 를 둘 다 깔끔하게 제거하는 충분조건이 닫힌 형태로 떨어진다는 데 있습니다. 무차익을 보장하기 위한 대가는 분명합니다. 자유도가 너무 줄어든 탓에 피팅의 질이 떨어집니다. 특히 단기 만기에서 그렇습니다.

제가 쓰는 방식

이 부분은 다른 글에서 자세히 풀어 드리겠지만, 결론만 미리 말씀드리면 제가 쓰는 방법은 SSVI 를 SVI 처럼 쓰는 것 입니다. 곡면 전체를 하나의 SSVI 로 묶지 않고, 각 슬라이스마다 SSVI 형태의 곡선을 따로 피팅합니다.

이렇게 하면 butterfly 조건은 SSVI 의 닫힌 형태 충분조건을 그대로 가져다 쓸 수 있어 깔끔하게 잡힙니다. 동시에 슬라이스마다 최소 3개 이상의 파라미터를 자유롭게 쓸 수 있고 (함수형에 파라미터를 더 끼워 넣어 자유도를 늘리는 것도 가능합니다), 그래서 피팅 품질도 보장됩니다.

남는 문제는 calendar 입니다. SSVI 가 가진 calendar-free 충분조건은 “한 SSVI 곡면 안에서” 의 조건이지, “여러 개의 SSVI 슬라이스를 이어 붙였을 때” 의 조건은 아니거든요. 그런데 다행히 우리는 그런 닫힌 형태 조건이 굳이 필요하지도 않습니다. 앞 글 에서 본 것처럼 calendar 조건은 그 자체로 단순합니다:

\[\partial_t\, \omega(y, t) \geq 0\]

이걸 다루는 방법은 두 가지입니다. 하나는 단기 만기부터 차례대로 피팅하면서 이전 슬라이스를 constraint 로 거는 방식이고, 다른 하나는 페널티 메소드 입니다. 페널티 메소드는 조건을 엄밀히 보장하지는 않습니다. 그 대신 빠른 속도를 보장하지요. 마켓메이커 입장에서는 만약 페널티 방식으로 풀고 나서 calendar 가 일부 깨졌다면, 해당 구간의 호가 스프레드를 넓혀 두고 다음 사이클에서 buffer 를 더한 채로 다시 최적화하는 식으로 운영해도 큰 무리가 없습니다.

다른 확장들

어떻게 보면 사람 생각은 다 비슷한가 봅니다. 저는 이 방식을 2012년 채권 평가사에서 일할 때부터 써왔는데요, 제 방식은 학술적으로 의미가 있는 방법은 아닙니다. 실무적인 휴리스틱에 가깝지요.

같은 결을 가지면서도 학술적으로도 잘 정리되어 있는 방식이 있습니다. eSSVI (extended SSVI) 입니다. Hendriks & Martini (2017)³ 가 제안한 확장으로, 원래 SSVI 가 표면 전체에 대해 단 하나의 $\rho$ 를 쓰던 것을 만기별로 $\rho(T)$ 를 따로 두는 형태로 풀어 줍니다. 자유도가 늘어나니 슬라이스별 피팅 품질도 올라가지요. 이때 자연스럽게 떠오르는 질문이 “그럼 만기별로 다른 $\rho$ 를 쓰면 슬라이스 사이에 calendar 가 깨지지 않을까?” 인데요, eSSVI 의 핵심 기여 중 하나가 바로 인접한 두 슬라이스 사이의 calendar-spread arbitrage 부재 조건을 명시적으로 정리해 두었다는 점입니다. 그래도 여전히 각 슬라이스별로 하나의 파라미터가 추가되는 것이라, 피팅 품질 측면에서 드라마틱한 개선은 아닌 것 같습니다.

이후 하나의 SVI 슬라이스에 대한 butterfly-arbitrage-free 조건 자체를 깔끔하게 닫아 둔 결과도 나왔습니다. Martini & Mingone (2020/2021)⁴ 은 SVI 파라미터 위에서 butterfly-arbitrage-free 영역을 단순한 부등식 조건들로 특성화해 놓았습니다. 전반적으로 장단점 부분에서 제가 쓰는 방법과 대동소이해 보입니다.

실무 표준 — In-house 모델 혹은 Vola Dynamics

학계 표준이 SVI/SSVI 라면, 실무 표준은 각 하우스의 in-house 모델, 또는 third-party 라이브러리인 Vola Dynamics 둘 중 하나라고 보면 됩니다. 큰 prop shop 이나 sell-side 데스크는 대부분 자체 곡선과 SLV/SLVJ 를 사내에서 직접 굴리고, 그 정도 규모가 아닌 곳은 Vola 라이선스를 사서 씁니다. 다만 이 in-house 모델이 구체적으로 어떤 형태인지는 회사별로 외부에 공개되어 있지 않습니다. 한 EU 은행 옵션 trader 의 Reddit AMA⁵ 에서 같은 질문을 받자 “Most of the trading systems are proprietary. Volatility model is proprietary (but it’s very similar from one bank to another)” 라고 답한 적이 있는데요, 여기서 proprietary 는 외주를 줬다는 뜻이 아니라 각 회사가 사내에서 자체 개발해 외부에 공개하지 않는 비공개 모델 이라는 의미입니다. 즉 “거래 시스템도, vol 모델도 다 사내 개발 비공개 모델인데, 정작 그 내용은 회사들 사이에서 서로 거의 비슷하다” 는 얘기지요. 외부에서 알 수 있는 풍경은 이 정도가 거의 전부에 가깝습니다.

Vola Dynamics 는 2016년 뉴욕에서 Timothy Klassen, Jiri Hoogland, Misha Fomytskyi 세 명이 창업한 회사입니다. Klassen 은 시카고 대학 박사 출신으로, 2003년 Goldman Sachs 시절 현행 VIX 인덱스의 설계를 맡았던 이력이 있고, 이후 GETCO Head of Options Quant 를 거쳐 Vola 를 차렸습니다⁶.

Vola 가 SVI/SSVI 대비 가지는 차별점 중 가장 자주 언급되는 것은 W-shape 곡면을 그릴 수 있다는 점입니다. SPX, AAPL, AMZN 같은 종목의 earnings 전후를 떠올리면, ATM 부근에서 vol curve 가 음의 곡률 (W 모양) 을 갖는 경우가 흔합니다. 그런데 SVI (5 파라미터), SSVI (3), SABR (3) 같은 “표준” 모델은 원리적으로 이 모양을 그리지 못합니다. Klassen 본인이 Wilmott 매거진에 쓴 글의 표현을 그대로 빌리면⁷:

“None of the curves discussed in the public domain (SABR, SVI, SSVI, two parabolic or cubic polynomials joined at-the-money, etc.) can actually fit vol skews of liquid underliers/terms, like SPX, SPY, E-mini futures, QQQ, AAPL, AMZN, etc., in a bias-free manner.”

라이선스 비용은 공개되어 있지 않지만, Reddit r/quant 의 실무자 코멘트로는 base 구성 기준 월 $25–30k 수준⁸ 에서 협상되는 것으로 알려져 있습니다. 종목별 과금이 아니라 풀 단위 라이선스 (index 또는 listed options 전체) 로 보이지만, 정확한 기준은 공개된 바가 없습니다.

Orc Wing — 한 시대의 표준

SVI 와 Vola 이전에 옵션 마켓메이커들이 사실상 표준처럼 쓰던 모델은 Orc Wing 입니다. 1987년 스톡홀름에서 설립된 Orc Software 의 Orc Trader 플랫폼에 내장되어 있던 곡선이었지요. 2000년대부터 2010년대 초까지 Optiver, IMC 등 네덜란드·스칸디나비아 계열 옵션 마켓메이커들이 거의 다 Orc 를 깔고 거래했고, 그 결과 listed equity options 시장에서 Wing model 은 사실상의 de facto skew parameterization 이 되었습니다.

Wing 의 특징을 한 줄로 정리하면, trader 가 직관적으로 손으로 만질 수 있는 파라미터를 제공하지만, 닫힌 형태의 무차익 보장 공식은 없다 는 것입니다. 캘리브레이션 단계에서 Durrleman 의 $g(k) \geq 0$ (앞 글 의 그 $g$ 함수입니다) 을 strike grid 위에서 체크해 위반 시 페널티를 더하는 방식으로 다루지요. 즉 무차익을 수학적으로 보장하는 것이 아니라 페널티로 밀어내는 방식이라, fit 이 잘 안 되면 wing 끝단이나 smoothing 영역에서 butterfly arbitrage 가 슬며시 끼어들 수 있습니다.

회사 자체의 손바뀜 이력은 따로 짚어 볼 만합니다. 2012년 Nordic Capital 이 Orc 를 공개매수해 분할했고, 2015년 CameronTec 과 합병해 Itiviti 가 됐다가, 2021년 Broadridge Financial Solutions 가 약 $2.5B 에 Itiviti 전체를 인수했습니다⁹. Orc Trader 제품은 현재 Broadridge 의 Trading and Connectivity Solutions 라인 안에 살아 있지요. 신규 채택은 줄었지만 흥미롭게도 crypto 옵션 마켓메이커들이 “구하기 쉽고 직관적인 모델” 을 찾다가 다시 Wing 을 쓰고 있다는 얘기가 종종 들립니다¹⁰.

한국 표준

한국 시장은 결이 좀 다릅니다. 큰 그림으로 보면 변동성 곡면을 어디서 받아오느냐에 따라 채권평가사의 vol 또는 Markit (현 S&P Global) 의 vol 둘 중 하나로 나뉩니다.

채권평가사는 보통 SABR 같은 stochastic volatility 계열 모델로 피팅해서 곡면을 만들어 제공하는 것으로 알고 있습니다. 재무 손익을 산출할 때는 Markit 이나 채평사 vol 을 쓰는 것이 일반적이고, 최근에는 대부분 Markit 쪽으로 넘어가는 추세입니다. 그리고 장중 호가나 재무 마감 사이의 일중 평가에는 별도의 in-house 모델을 함께 운용하는 곳도 있습니다. 정리하면, 한국에서 vol surface 는 “재무 마감용 (외부 third-party) + 일중 운영용 (in-house)” 식의 dual stack 으로 굴러간다고 보시면 큰 틀에서 맞습니다.

본 시리즈가 자리하는 곳

저 또한 실무에서 위 모델들과 그 변형을 두루 다루며 나름의 노하우를 쌓아 왔습니다. 다음 글부터는 우선 학술적 표준인 SVI/SSVI 를 정리하고, 거기서 나타나는 실무적 한계를 짚어 본 뒤, 제가 실제로 사용하는 변형 방법을 단계적으로 풀어 보려고 합니다. 위에서 정리한 분류로 말씀드리면 학계 SSVI 와 prop shop in-house 사이의 어딘가, 라고 보시면 좋을 것 같습니다.

1. Gatheral, J. (2006). The Volatility Surface: A Practitioner’s Guide. Wiley. ↩︎

2. Gatheral, J. & Jacquier, A. (2014). Arbitrage-free SVI Volatility Surfaces. Quantitative Finance, 14(1), pp. 59–71. arXiv:1204.0646 ↩︎

3. Hendriks, S. & Martini, C. (2017). The Extended SSVI Volatility Surface. Working paper, May 20, 2017. SSRN:2971502, DOI: 10.2139/ssrn.2971502. 만기별 $\rho(T)$ 를 허용하면서, 인접 슬라이스 사이 calendar-spread arbitrage 부재의 필요충분조건을 명시적으로 유도. ↩︎

4. Martini, C. & Mingone, A. (2021). No arbitrage SVI. arXiv:2005.03340. SVI 파라미터의 rescaling 과 Durrleman 조건 분석을 통해 한 슬라이스 SVI 의 butterfly-arbitrage-free 영역을 단순한 부등식들로 특성화하고, 그 위에서 동작하는 LSQ 캘리브레이션 알고리즘을 제시. ↩︎

5. r/options — Bank options trader AMA ↩︎

6. Vola Dynamics — Timothy Klassen team page ↩︎

7. Klassen, T. (2020). The Swiss Army Knife of Option Analytics. Wilmott Magazine. PDF ↩︎

8. r/quant — Flow Options Pricing 스레드 의 u/SpursStocks 코멘트. ↩︎

9. A-Team Insight — Broadridge 의 Itiviti 인수 ($2.5B, 2021) ↩︎

10. algos.org — Professional Options Market Making ↩︎