(옵션 변동성 7) SVI (Stochastic Volatility Inspired)

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이 글은 금융수학 시리즈의 글입니다.

이번 글에서는 SVI 에 대해 직관과 결과 위주로 소개해 보겠습니다. SVI 는 내재 변동성 피팅 분야에서 학계가 가장 많이 다뤄 온 갈래 중 하나입니다.

일단 SVI 는 Stochastic Volatility Inspired 의 약자입니다. 직역하면 “stochastic volatility 모델에서 영감을 받은 모델” 정도가 될 텐데요. 어떤 흐름에서 나온 이름인지는 Gatheral & Jacquier (2010)¹ 의 Convergence of Heston to SVI 를 보면 잘 설명되어 있습니다. 이 논문의 내용을 먼저 간략하게 짚어 보겠습니다.

SVI 의 배경

대표적인 stochastic volatility 모형인 Heston 모형은 주가와 변동성이 다음을 따른다고 가정합니다:

\[\mathrm{d}S_t = \sqrt{v_t}\, S_t\, \mathrm{d}W_t^1, \qquad \mathrm{d}v_t = \kappa(\theta - v_t)\, \mathrm{d}t + \xi \sqrt{v_t}\, \mathrm{d}W_t^2\]

이 모형의 파라미터들이 결정되면 각 log forward-moneyness 와 만기 $(y, T), ~ y = \ln(K / F)$ 에 대해 옵션 가격을 구할 수 있고, 그 옵션 가격을 Black-Scholes 모델로 역산하면 implied total variance 를 얻을 수 있습니다 (total variance 와 forward moneyness 의 정의는 이전 글 참고).

그러면 이렇게 구한 variance surface 의 $T \to \infty$ 에 따른 asymptotic 한 형태는 다음과 같은 함수로 수렴합니다:

\[\omega(y) = a + b\left\{\rho(y - m) + \sqrt{(y - m)^2 + \sigma^2}\right\} \tag{1}\]

그래서 이 stochastic volatility 모델을 흉내내서 위 asymptotic 함수로 변동성 곡면의 각 slice 를 피팅해 보자 — 이것이 바로 SVI 모델입니다. 이 모델은 Jim Gatheral 의 저서² 에도 소개되었지만, Gatheral & Jacquier (2014)³ 에서 더 잘 정립되었습니다. 본 글은 Gatheral & Jacquier (2014) 를 참고하여 작성했음을 미리 말씀드립니다.

SVI

Gatheral & Jacquier (2014) 는 크게 두 부분으로 나뉩니다. SVI 와 SSVI (Surface SVI) 인데요, SSVI 는 SVI 의 변형입니다. 먼저 SVI 를 각 파라미터의 범위와 함께 정식으로 표현하고, 그 의미를 살펴보겠습니다. 파라미터 집합 $\phi = \lbrace a, b, \rho, m, \sigma \rbrace$ 에 대해 raw SVI parameterization 의 total variance 는 다음과 같이 정의됩니다:

\[\omega^{\phi}(y) = a + b\left[\rho(y - m) + \sqrt{(y - m)^2 + \sigma^2}\right] \tag{2}\]

여기서 파라미터의 범위는 다음과 같습니다:

\[a \in \mathbb{R}, \quad b \geq 0, \quad -1 < \rho < 1, \quad m \in \mathbb{R}, \quad \sigma > 0\]

추가로 $\min_y \omega^{\phi}(y) \geq 0$ 을 보장하기 위해 $a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$ 조건이 들어갑니다. 또한 $\rho = \pm 1$ 은 smile 이 단조 증가/감소가 되는 trivial case 이고, $\sigma = 0$ 은 linear smile 이 되는 경우라 제외합니다. 각 파라미터의 의미는 다음과 같습니다.

Remark 1.

1) $a$ 가 커지면 total variance 도 커진다 → 변동성의 level 을 결정한다.

2) $b$ 가 커지면 양쪽 wing (put, call) 의 기울기가 모두 가팔라진다 → 스마일의 폭을 결정한다.

구체적으로, 큰 $\lvert y - m \rvert$ 에서 $\sqrt{(y - m)^2 + \sigma^2} \approx \lvert y - m \rvert$ 이므로 우측 wing 의 기울기는 $b(1 + \rho)$, 좌측 wing 의 기울기는 $-b(1 - \rho)$ 가 된다. 즉 $b$ 는 양쪽 wing 기울기에 공통으로 곱해지는 스케일 인자.

3) $\rho$ 가 커지면 왼쪽 wing 의 기울기는 완만해지고 오른쪽 wing 의 기울기는 가팔라진다 → 스마일의 회전 (skew 방향) 을 결정한다.

위에서 보았듯 우측 wing 기울기는 $b(1 + \rho)$, 좌측 wing 기울기의 절댓값은 $b(1 - \rho)$ 이므로, $\rho$ 가 커질수록 우측은 가팔라지고 좌측은 완만해져 곡선이 시계 반대 방향으로 회전한다.

4) $m$ 이 커지면 스마일이 오른쪽으로 평행 이동한다 → 스마일의 수평 위치를 결정한다.

식 (2) 에서 $y$ 가 항상 $y - m$ 형태로 묶여 등장하므로, $m$ 의 변화는 곧 가로축의 평행 이동에 해당한다.

5) $\sigma$ 가 커지면 스마일 바닥의 곡률이 작아진다 → 스마일의 둥글기 (curvature) 를 결정한다.

$\omega^{\phi}(y)$ 를 두 번 미분하면 $\omega^{\prime\prime}(y) = b\sigma^2 / [(y - m)^2 + \sigma^2]^{3/2}$ 이고, 스마일 바닥 $y = m$ 에서 $\omega^{\prime\prime}(m) = b/\sigma$ 이다. 즉 $\sigma$ 가 작을수록 V 모양에 가깝고, 클수록 둔한 곡선이 된다.

SVI 의 한계

SVI 는 파라미터 5개로 슬라이스를 피팅하므로 피팅의 질은 꽤나 좋습니다. 그러나 이 당시 명확한 한계가 있었습니다 (추후 butterfly 조건은 Martini & Mingone (2021)⁴ 에서 닫힌 형태로 정리됨):

1) Butterfly arbitrage 에 대한 (닫힌 형태의) 식이 없음.

2) Calendar arbitrage 조건이 4차 방정식의 근 형태로 표현되어 실무적으로 사용하기 어려움.

SSVI

위 두 한계를 피하기 위해 Gatheral & Jacquier (2014) 의 두 번째 모델인 SSVI (Surface SVI) 는 다른 방식으로 접근합니다. 첫째로, 슬라이스를 따로따로 피팅하지 않고 surface 전체를 한 번에 피팅합니다. 둘째로, 시간축을 calendar time 이 아니라 ATM total variance $\theta_t = \sigma_{\mathrm{BS}}^2(0, t)\, t$ 로 표현합니다.

이때 SSVI 의 total variance 는 다음과 같이 정의됩니다:

\[\omega(y, t) = \frac{\theta_t}{2}\left\{1 + \rho\,\varphi(\theta_t)\,y + \sqrt{\left(\varphi(\theta_t)\,y + \rho\right)^2 + (1 - \rho^2)}\right\} \tag{3}\]

여기서 $\varphi$ 는 양의 실수 위에 정의된 매끈한 양의 함수로, ATM total variance $\theta_t$ 에 따라 skew 의 강도를 조절합니다. 즉 SSVI 는 surface 전체를 단 하나의 상수 $\rho$ 와 함수 $\varphi$ 로 표현합니다.

각 만기 $t$ 의 슬라이스를 SVI 파라미터 $\phi = \lbrace a, b, \rho, m, \sigma \rbrace$ 와 대응시키면 다음과 같이 표현됩니다:

\[\phi = \left\lbrace \frac{\theta_t (1 - \rho^2)}{2},\; \frac{\theta_t\, \varphi(\theta_t)}{2},\; \rho,\; -\frac{\rho}{\varphi(\theta_t)},\; \frac{\sqrt{1 - \rho^2}}{\varphi(\theta_t)} \right\rbrace \tag{4}\]

몇 가지 코멘트를 남기고 넘어가겠습니다. 위 식 (4) 와 Remark 1 을 참고하시기 바랍니다.

Remark 2.

1) $\varphi$ 가 커질수록 wing 기울기 ($b$) 도 커진다.

2) $\theta_t$ 는 surface 의 레벨 ($a$) 을 결정한다.

3) $\varphi$ 가 커지면 ATM 곡률도 커진다.

4) $\theta_t$ 는 ATM total variance 를 나타내지만, 꼭 그 값으로 고정할 필요는 없다. 피팅을 하면 얼추 그 주변 값으로 수렴하겠지만 굳이 free variable 하나를 포기할 이유가 없다. 더불어, 기초자산이 변함에 따라 forward 는 계속 변하는 반면 행사가는 고정되어 있어, ATM total variance 를 시장에서 항상 관측할 수 있는 것조차 아니다.

저희는 아직까지 $\varphi$ 가 어떤 함수인지 얘기하지 않았는데요. Gatheral & Jacquier (2014) 는 세 가지 대표적인 함수를 제시합니다:

• Power-law: $\varphi(\theta) = \eta\, \theta^{-\gamma}$ ($\eta > 0$, $0 < \gamma < 1$)

• Heston-like: $\varphi(\theta) = \dfrac{1}{\lambda \theta}\left(1 - \dfrac{1 - e^{-\lambda \theta}}{\lambda \theta}\right)$ ($\lambda > 0$)

• Modified power-law: $\varphi(\theta) = \dfrac{\eta}{\theta^{\gamma}\,(1 + \theta)^{1 - \gamma}}$ ($\eta > 0$, $0 < \gamma < 1$)

당연히 사용자가 함수를 선택할 수 있지만, $\varphi$ 의 선택만으로 피팅의 질이 막 엄청 좋아지거나 하지는 않습니다. 다음 글에서 설명하겠지만 제가 사용하는 것은 마지막 세 번째 — modified power-law 입니다. 파라미터 개수가 많고, arbitrage 조건이 심플하게 떨어지기 때문입니다. 자, 다시 돌아와서 논문 이야기를 마무리하겠습니다.

SSVI 의 강점과 약점

SSVI 는 강점과 약점이 분명합니다. 강점은 arbitrage-free 조건이 깔끔하게 떨어진다는 점입니다.

Theorem. SSVI 곡면 (3) 이 다음 네 조건을 모두 만족하면 calendar arbitrage 와 butterfly arbitrage 가 모두 없다 (모든 $t > 0$, $\theta > 0$ 에 대해).

1) (Calendar) $\partial_t \theta_t \geq 0$

2) (Calendar) $0 \leq \partial_\theta(\theta\,\varphi(\theta)) \leq \dfrac{1}{\rho^2}\left(1 + \sqrt{1 - \rho^2}\right)\varphi(\theta)$

3) (Butterfly) $\theta\,\varphi(\theta)(1 + \lvert \rho \rvert) < 4$

4) (Butterfly) $\theta\,\varphi(\theta)^2(1 + \lvert \rho \rvert) \leq 4$

단점도 명확합니다. 이 단점은 surface 를 한 번에 피팅하는 stochastic volatility 모델 류의 약점과도 일치하는데요 — 피팅이 잘 되지 않습니다. 특히 단기 만기에서.

생각해 보면 당연합니다. 식 (3) 과 modified power-law 함수를 보면, 저희에게 주어진 free variable 은 $\theta_t,\, \rho,\, \eta,\, \gamma$ 4개입니다. 그런데 사실 $\theta_t$ 는 ATM total variance 근처 어딘가로 이미 절반쯤 예약된 상태이지요. 그래서 사실상 나머지 변수 3개로 곡면 전체를 피팅해야 합니다. 당연하게도 기울기와 곡률이 큰 단기에서 피팅이 잘 안 될 수밖에 없습니다.

마무리

그럼 어떻게 해야 할까요? 저는 SSVI 의 butterfly 조건만 채택하고 SSVI 를 slice 단위로 적용합니다. Calendar arbitrage 를 확실하게 잡고 싶으면 constraint 로 넣고 (brute force), 속도를 빠르게 하고 싶으면 penalty 로 가면 됩니다. 다음 글에서 자세히 다루도록 하겠습니다.

1. Gatheral, J. & Jacquier, A. (2010). Convergence of Heston to SVI. arXiv:1002.3633. ↩︎

2. Gatheral, J. (2011). The Volatility Surface: A Practitioner’s Guide. John Wiley & Sons. ↩︎

3. Gatheral, J. & Jacquier, A. (2014). Arbitrage-free SVI Volatility Surfaces. Quantitative Finance, 14(1), pp. 59–71. arXiv:1204.0646. ↩︎

4. Martini, C. & Mingone, A. (2021). No arbitrage SVI. arXiv:2005.03340. SVI 파라미터의 rescaling 과 Durrleman 조건 분석을 통해 한 슬라이스 SVI 의 butterfly-arbitrage-free 영역을 단순한 부등식들로 특성화. ↩︎